Odjel za matematiku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku organizira predavanje Fraktalna analiza neomeđenih skupova u Euklidskim prostorima: kompleksne dimenzije i Lapidusove zeta funkcije (Fractal Analysis of Unbounded Sets in Euclidean Spaces: Complex Dimensions and Lapidus Zeta Functions)
NAJAVA – Predavanje će se održati u četvrtak, 14. svibnja 2015. godine s početkom u 17 sati u predavaonici broj 36 na Odjelu za matematiku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku (Trg Ljudevita Gaja 6).
Predavanje će održati:
- dr. sc. Goran Radunović, Fakultet elektrotehnike i računarstva, Sveučilište u Zagrebu
Bavimo se relativnim fraktalnim bubnjevima i njihovim fraktalnim zeta funkcijama Lapidusovog tipa, kao i generalizacijama ovih pojmova za slučaj neomeđenih skupova u beskonačnosti. Relativni fraktalni bubnjevi su sami po sebi generalizacijama pojma omeđenog skupa u Euklidskom prostoru. Ovdje nastavljamo istraživanje njihovih svojstava i višedimenzionalne teorije njihovih fraktalnih zeta funkcija te pripadajućih kompleksnih dimenzija koje je započeto suradnjom M. L. Lapidusa i D. Žubrinića 2009. godine a kojoj se G. Radunović pridružio nešto kasnije.
Teorija kompleksnih dimenzija već je vrlo dobro razvijena za slučaj fraktalnih struna, odnosno, fraktalnih podskupova realnog pravca. Kompleksne dimenzije relativnog fraktalnog bubnja definirane su kao polovi meromorfnog proširenja pripadajuće razdaljinske ili cijevne zeta funkcije. Na određeni način kompleksne dimenzije relativnog fraktalnog bubnja generaliziraju pojam njegove box dimenzije (ili dimenzije Minkowskog). Preciznije, uz neke blage uvjete, vrijednost box dimenzije relativnog fraktalnog bubnja jest pol njegove pripadajuće fraktalne zeta funkcije s maksimalnom vrijednošću realnog dijela. Štoviše, reziduum u tom polu usko je povezan sa sadržajem Minkowskog danog relativnog fraktalnog bubnja.
Izvodimo važne rezultate koji donose daljnje opravdanje pojma `kompleksnih dimenzija’ i povezuju ga s fraktalnim svojstvima danog relativnog fraktalnog bubnja. Preciznije, kao rezultat dobivamo fraktalne cijevne formule za klasu relativnih fraktalnih bubnjeva koje izražavaju njihovu relativnu cijevnu funkciju, odnosno, Lebesgueovu mjeru njihove relativne δ-okoline za male vrijednosti δ, kao sumu po reziduumima njihove fraktalne zeta funkcije. Te formule su dane s greškom ili bez greške i vrijede po točkama ili distribucijski ovisno svojstvima rasta pripadajuće fraktalne zeta funkcije. Važnost ovih formula je u tome što pokazuju kako su kompleksne dimenzije povezane s asimptotikom relativne cijevne funkcije danog relativnog fraktalnog bubnja. Kao primjenu izvodimo kriterij za Minkowskivljevu izmjerivost velike klase relativnih fraktalnih bubnjeva. Nadalje, očekivano, pokazujemo da su kompleksne dimenzije danog relativnog fraktalnog bubnja invarijantne u odnosu na dimenziju ambijentnog prostora.
Uvodimo generalizaciju teorije kompleksnih dimenzija u kontekstu neomeđenih skupova u beskonačnosti koja može poslužiti kao novi pristup primjeni fraktalne analize na neomeđene skupove u Euklidskim prostorima. U slučaju neomeđenih skupova konačne Lebesgueove mjere, generalizaciju provodimo uvođenjem pojmova sadržaja Minkowskog u beskonačnosti i box dimenzije u beskonačnosti (ili dimenzije Minkowskog u beskonačnosti) koji opisuju njihova fraktalna svojstva. Nadalje, uvodimo i pripadajuću Lapidusovu (ili razdaljinsku) zeta funkciju u beskonačnosti te pokazujemo da je dobro povezana s fraktalnim svojstvima neomeđenih skupova. Nastavljamo s kon-
strukcijom zanimljivih primjera kvaziperiodičkih skupova u beskonačnosti s proizvoljnim brojem (moguće i beskonačnim) kvaziperioda koji posjeduju složena fraktalna svojstva.
Također se bavimo i prirodnim pitanjem koje se postavlja prilikom istraživanja neomeđenih skupova i njihovih fraktalnih svojstava, u vidu pronalaženja rezultata koji ih povezuju s fraktalnim svojstvima njihovih slika po jednotočkovnoj kompaktifikaciji i po geometrijskoj inverziji. Nadalje, također istražujemo i fraktalna svojstva neomeđenih skupova beskonačne Lebesgueove mjere uvođenjem pojmova parametarskog ϕ-omotačkog sadržaja Minkowskog u beskonačnosti i pripadajuće parametarske ϕ-omotačke dimenzije Minkowskog u beskonačnosti (ili ϕ-omotačke box dimenzije u beskonačnosti) te izvodimo rezultate koji povezuju ove pojmove s razdaljinskom zeta funkcijom u beskonačnosti.
